天子小说

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第1章 上一章注释001（第2页）

这种看起来很像左脚踩右脚登天的构造方式叫做“原始递归”

，它的定义是这样的：，！

基准函数f:nn—n递归函数g:nn+2—n使用f和g的原始递归h=pn（f，g）:nn+1—n对于h:基准条件：h（x1，xn，0）=f（x1，，xn）递归条件:h（x1，，xn，y+1）=g（x1，，xn，y，h（x1，，xn，y））回到我们的加法器add：add:n2→nadd（x，y）=x+y=p1（f，g）基准条件：add（x，0）=f（x）=proj11递归条件：add（x，y+1）=g（x，y，add（x，y））=su（add（x，y）），g=su·[proj33]add=p1（proj11，su·[proj33]）完美无瑕。

类似地，乘法器ult=p1（zero，add·[proj13，proj33]）前继函数，减法器等等基本运算都可以据此定义，只需要proj，zero，su三种原始函数和组合·，原始递归p这两种基本操作。

所有完全函数都可以据此构造。

那么“偏函数”

呢？构造偏函数还需要额外的一个操作：最小化。

如果我们有一个函数f:nn+1—n（这里代表上标，虽然不好看，但实在是敲得太麻烦没有耐心了），具体的f（a1，an，x），其中a1，an是固定参数，x是可变参数。

那么最小化操作为：μnf:nn—n它会找到给它输入的n个参数里，最小的一个，并输出比如f（5，4，3，2，1，0）=0如果遇到重复参数，那么就输出第一个最小的。

比如f（5，4，3，2，1，1）=1假设我们有一个投影函数长这样：proj21:n2—n（proj21中的2是上标，1是下标，下同，写不动摆烂了）那么μ1proj21:n—n举个栗子：假如我们给proj21弄一个最小化操作：μ1proj21（1），其中1是固定参数。

如果我们穷举一下可变参数，就会发现：proj21（1，0）=1proj21（1，1）=1我们永远也拿不到0，也就不存在最小化。

也就是说，对于μ1proj21而言，并不是每一个输入都对应一个输出，所以应用最小化操作，我们成功地构建了一个偏函数。

加减乘三种操作都在上文构建过了，现在就只剩下一个除了。

除法div需要用最小化操作来构建。

假设，我们收到两参数a和b，想求ab，那么其中存在如下关系：a=qxb+r，其中0≤r＜b我们想要的就是满足式子qxb≤a的最大的q，这等同于满足（q+1）xb＞a，于是带余除法被转化为了一个最小化问题：找到最小的q使其满足（q+1）xb＞a也就是构造一个函数f:n3—nf（a，b，q）=1如果（q+1）b≤a，=0如果（q+1）b＞af（a，b，q）=lessthaneal（ult（su（q），b），a）f=lessthaneual·[ult·[su·[proj33]，proj32]，proj31]其中lessthaneal=iszero·subiszero=sub·[su·zero，proj11]sub是减法器对f进行最小化操作即可得到我们想要的结果。

验证一下：f（8，5，0）=lessthaneal（ult（1，5），8）=1不等于0，所以0不是输出。

f（8，5，1）=lessthaneal（ult（1，5），8）=0，最小，所以1是输出。

div（8，5）=85=1没错，十分完美。

如果我们想计算一下80:f（8，0，0）=lessthaneal（ult（1，0），8）=1不等于0，所以0不是输出。

f（8，0，1）=lessthaneal（ult（2，0），8）=1不等于0，所以0不是输出。

无论我们给f（8，0，x）传入什么x，都找不到最小的x，所以div（8，0）=80无解，符合现实。

如果把最小化操作运用在原始递归函数上，得到的新函数就叫做偏递归函数。

好了，现在加减乘除我们都有了，只要是可计算的算法，我们都能执行。

至于无限循环怎么制造出来，从μ1proj21（1）和div的栗子都可以看出来，如果最小化操作找不到最小值，就永远不会给出输出，这相当于while语句的功能。

——————————————————下一章是正常内容：（）四进制造物主