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第1章 上一章注释001（第1页）

【写在8月25日20:53，发布后发现上下标给我全滤了?，我调整一下，过会儿再看】硬核程度：☆☆☆☆☆涉及领域：计算理论大标题：三种函数外加三种操作怎样解决所有可计算问题？为什么偏递归函数可以制造无限循环？可能是全网最不报菜名、最不装比的解释。

以下开始：首先，什么是可计算？可计算就是指，有一个算法，我们把它交付给计算机后，计算机可以像执行一个函数一样，接受我们给它的输入，然后返回输出，这个输出就是我们想要的答案。

为了方便描述，先行约定一下数学符号。

假设我们有一个乘法器，叫做ult，它可以接受一对整数作为输入，把它们相乘后输出一个整数。

比如，输入（3，4）输出12输入（6，2）输出12输入（0，6）输出0这时，我们把这些输入数对叫做doa，输出的一个数叫做doa。

如果我们用z来代表全体整数集，那么这个平平无奇的乘法器就可以用数学符号表示为：ult:z2→z中间的这个→表示这个ult是一个totalfunction，也许可以称作“全函数”

吧，意思是每一个doa里的输入，都能对应一个doa里的输出。

与全函数相对应的是，是“偏函数”

。

对于偏函数，对于有些输入，它并不能给出输出。

比如一个除法器，当我们给它（6，0）时，它输出不了任何东西。

这个除法器可以表示为：div:z2—z这里的单横线代表这是一个偏函数（其实应该用半箭头表示，但在这里打不出来）好了，定义好符号之后，就可以清爽地描述我们的三种基本函数：后继函数、零函数、投影函数。

后继函数：su:n→n，su（x）=x+1，n代表自然数集。

我们给它2，它输出3；给它3它输出4。

总之就是往上+1零函数：zero:nn→n，zero=0。

不管给它什么，它都输出0投影函数：projn:nn→n，proj（x1，，xn）=xi。

它接受长度为n的输入，输出第i个自然数。

比如，proj22（1，3）=3。

好了，盖大楼的砖块一共就这么三种，接下来把它们组合在一起就行了。

我们定义一个叫“组合”

的函数f，它的功能是把n个函数组合在一起：f:nn—n具体的，如果每一个被组合的函数g都可以接受同一组参数（x1，，x），那么组合n个g函数的操作可以被表示为：f·[g1，，gn]:n—n展开为：f·[g1，，gn]（x1，，x）=f（g1（x1，，x），，gn（x1，，x））举个栗子：我们构造一个函数one，one（x）=1，即：不论给它什么输入，它都输出为1，那么：one（x）=su（0）=su（zero（x））即：su·[zero]=one验证一下：su·[zero]（x）=su（zero（x））=su（0）=1su和zero两个基本函数组成了我们要的one，完美。

如果栗子再复杂一点，我们想要一个加法器add，add（x，y）=x+y，怎么用那三种基本函数组合？也很简单，从具体输入入手：add（3，2）=su（add（3，1））=su（su（add（3，0）））=su（su（3））似乎只需要组合多个后继函数就可以了呢。

当然，这里面有一个毛病，在于我们在没有定义好add的前提下，先入为主地认为add（3，0）=3所以我们不能认为自己就这么简单地构造了add，只能退而求其次地得到以下关系：add（x，y+1）=su（add（x，y）），这个式子是十分严谨的。

更具体地，要想算出add（x，y+1），就要知道add（x，0）=x，我们称add（x，0）=x为基准条件；add（x，y+1）=su（add（x，y））为递归条件。

看起来就差临门一脚了，只要我们能用三种基本函数构造出add（x，0）=x，就能得到add（x，y+1），也就能构造出我们想要的加法器。

也很显然，add（x，0）=x=proj11于是，我们的加法器有了。